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关于与“函数极限”标题相近或相同的条目，请见“极限”。
x
{\displaystyle x}
sin
x
x
{\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}
1
0.841471...
0.1
0.998334...
0.01
0.999983...
上表所示函数的图形，请注意在
x
=
0
{\displaystyle x=0}
处取不到值。因为被零除，所以在这一点函数没有意义。
尽管函数
sin
x
x
{\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}
的定义域中不包括“0”，但当
x
{\displaystyle x}
无限接近于零时，
sin
x
x
{\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}
就无限接近于 1，换句话说，
x
{\displaystyle x}
接近于零时，
sin
x
x
{\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}
的极限是 1。
在数学中，函数极限（英语：Limit of a function）是微积分的一个基本概念。它描述函数在接近某一给定自变量时的特征。函数
f
{\displaystyle f}
于
a
{\displaystyle a}
的极限为
L
{\displaystyle L}
，直观上意为当
x
{\displaystyle x}
无限接近
a
{\displaystyle a}
时，
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
便无限接近
L
{\displaystyle L}
。
正式定义[编辑]
动机[编辑]
如果取
δ
{\displaystyle \delta }
为＂
x
{\displaystyle x}
与
a
{\displaystyle a}
差距的上限＂；类似地，取
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
为＂
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
与
L
{\displaystyle L}
差距的上限＂，那根据直观，可以将函数极限定义为：
若对所有的
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
，存在
0
<
ϵ
≤
δ
{\displaystyle 0<\epsilon \leq \delta }
，使得对所有的
x
∈
D
f
{\displaystyle x\in D_{f}}
，只要
0
<
|
x
−
a
|
<
δ
{\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta }
就有
|
f
(
x
)
−
L
|
<
ϵ
{\displaystyle \left|f(x)-L\right|<\epsilon }
其中
ϵ
≤
δ
{\displaystyle \epsilon \leq \delta }
是要确保
δ
{\displaystyle \delta }
越来越小时，
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
也会越来越小；
0
<
|
x
−
a
|
<
δ
{\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta }
是为了凸显
x
{\displaystyle x}
是逼近而非等于
a
{\displaystyle a}
，但对应的
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
是可以等于
L
{\displaystyle L}
的。
但对于实函数
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f(x)=x^{2}}
逼近
a
=
0
{\displaystyle a=0}
时，考虑到
δ
≥
1
{\displaystyle \delta \geq 1}
的部分；在
|
x
−
0
|
2
<
δ
2
{\displaystyle {\left|x-0\right|}^{2}<\delta ^{2}}
下是没有这样的
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
使得
0
<
ϵ
≤
δ
{\displaystyle 0<\epsilon \leq \delta }
且
|
x
2
−
0
|
<
ϵ
{\displaystyle \left|x^{2}-0\right|<\epsilon }
的，但数值上
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f(x)=x^{2}}
的确在
a
=
0
{\displaystyle a=0}
时很靠近
0
{\displaystyle 0}
，也就是
ϵ
≤
δ
{\displaystyle \epsilon \leq \delta }
的部分局限了定义能覆盖的范围。
上面的例子表明以
x
{\displaystyle x}
的变化去限制
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
的变化通常是很困难的，但如果反过来从
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
出发，去找怎样的
x
{\displaystyle x}
会让
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
与
L
{\displaystyle L}
的差距小于
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
，也就是从＂若对所有的
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
存在
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
＂出发的话，显然上面
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f(x)=x^{2}}
的例子只要取
δ
=
ϵ
{\displaystyle \delta ={\sqrt {\epsilon }}}
即可；而且在这个定义被满足的情况下，若进一步取
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
和
δ
{\displaystyle \delta }
的最小值为
x
{\displaystyle x}
与
a
{\displaystyle a}
差距的上限，还是会有
|
f
(
x
)
−
L
|
<
ϵ
{\displaystyle \left|f(x)-L\right|<\epsilon }
，这样就可以用
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
控制
x
{\displaystyle x}
的变化，而满足＂
x
{\displaystyle x}
趋近于
a
{\displaystyle a}
时
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
趋近于
L
{\displaystyle L}
＂的直观想法。
但实际上无法确保对所有
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
，都有
x
∈
D
f
{\displaystyle x\in D_{f}}
使得
0
<
|
x
−
a
|
<
δ
{\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta }
，所以定义函数极限之前必须要求
a
{\displaystyle a}
为
D
f
{\displaystyle D_{f}}
的极限点。但大部分的情况会退而求其次的假设存在
r
>
0
{\displaystyle r>0}
使得
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
在
0
<
|
x
−
a
|
<
r
{\displaystyle 0<\left|x-a\right| 都有定义，也就是存在 a {\displaystyle a} 的去心邻域使 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 都有定义，这样的话 a {\displaystyle a} 会自动成为 D f {\displaystyle D_{f}} 的极限点。 自变量趋于有限值时函数的极限[编辑] f {\displaystyle f} 为实函数， a ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} } 为 D f {\displaystyle D_{f}} 的极限点且 L ∈ R {\displaystyle L\in \mathbb {R} } ，若＂对所有的 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ，存在 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} ，使得对所有的 x ∈ D f {\displaystyle x\in D_{f}} 只要 0 < | x − a | < δ {\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta } 就有 | f ( x ) − L | < ϵ {\displaystyle \left|f(x)-L\right|<\epsilon } ＂，或以正式的逻辑符号表述为 ( ∀ ϵ > 0 ) ( ∃ δ > 0 ) ( ∀ x ∈ D f ) [ ( 0 < | x − a | < δ ) ⇒ ( | f ( x ) − L | < ϵ ) ] {\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in D_{f})[\,(\,0<\left|x-a\right|<\delta \,)\Rightarrow (\,\left|f(x)-L\right|<\epsilon \,)\,]} 则以 lim x → a f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L} 表示，称 L {\displaystyle L} 为实函数 f {\displaystyle f} 于 a {\displaystyle a} 的极限。 自变量趋于无穷大时函数的极限[编辑] 由于＂无穷大＂不能直接定义成定义域 D f {\displaystyle D_{f}} 的极限点，可以退而求其次假设＂对所有的 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 存在 x ∈ D f {\displaystyle x\in D_{f}} 使得 x > δ {\displaystyle x>\delta } ＂。也就是直观上可以用定义域 D f {\displaystyle D_{f}} 里的点去逼近＂无穷大＂。那在这种条件下， L ∈ R {\displaystyle L\in \mathbb {R} } ，且若＂对所有 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ，存在 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} ，使得对所有的 x ∈ D f {\displaystyle x\in D_{f}} 只要 x > δ {\displaystyle x>\delta } 时，有 | f ( x ) − L | < ϵ {\displaystyle \left|f(x)-L\right|<\epsilon } ＂，或以正式的逻辑符号表述为 ( ∀ ϵ > 0 ) ( ∃ δ > 0 ) ( ∀ x ∈ D f ) [ ( x > δ ) ⇒ ( | f ( x ) − L | < ϵ ) ] {\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in D_{f})[\,(\,x>\delta \,)\Rightarrow (\,\left|f(x)-L\right|<\epsilon \,)\,]} 则称 L {\displaystyle L} 为实函数 f {\displaystyle f} 于正无穷大（ ∞ {\displaystyle \infty } ）的极限，记作 lim x → ∞ f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=L} 类似的，若假设＂对所有的 δ < 0 {\displaystyle \delta <0} 存在 x ∈ D f {\displaystyle x\in D_{f}} 使得 x < δ {\displaystyle x<\delta } ＂，那在这种条件下， L ∈ R {\displaystyle L\in \mathbb {R} } ，且若＂对所有 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ，存在 δ < 0 {\displaystyle \delta <0} ，使得对所有的 x ∈ D f {\displaystyle x\in D_{f}} 只要 x < δ {\displaystyle x<\delta } 时，有 | f ( x ) − L | < ϵ {\displaystyle \left|f(x)-L\right|<\epsilon } ＂，或以正式的逻辑符号表述为 ( ∀ ϵ > 0 ) ( ∃ δ < 0 ) ( ∀ x ∈ D f ) [ ( x < δ ) ⇒ ( | f ( x ) − L | < ϵ ) ] {\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists \delta <0)(\forall x\in D_{f})[\,(\,x<\delta \,)\Rightarrow (\,\left|f(x)-L\right|<\epsilon \,)\,]} 则称 L {\displaystyle L} 为实函数 f {\displaystyle f} 于负无穷大（ − ∞ {\displaystyle -\infty } ）的极限，记作 lim x → − ∞ f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=L} 制限极限[编辑] 直观上来讲，从数线左边逼近或右边逼近应该会得到一样的极限，为了把这个概念推广，需要函数限制的极限（也就是缩小定义域后的极限）： 定理 若 A ∪ B = D f {\displaystyle A\cup B=D_{f}} 且 a {\displaystyle a} 同时为 A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} 的极限点，则 lim x → a f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L} 等价于 lim x → a f | A ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a}f|_{A}(x)=L} 且 lim x → a f | B ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a}f|_{B}(x)=L} 上述定理的证明只须注意到 a {\displaystyle a} 也必为 D f {\displaystyle D_{f}} 的极限点，然后把函数极限的定义展开，考虑到 A ∪ B = D f {\displaystyle A\cup B=D_{f}} ，还有对 x ∈ A {\displaystyle x\in A} 取 δ A {\displaystyle \delta _{A}} 的和 x ∈ B {\displaystyle x\in B} 取的 δ B {\displaystyle \delta _{B}} ，那只要取 δ {\displaystyle \delta } 为 δ A {\displaystyle \delta _{A}} 和 δ B {\displaystyle \delta _{B}} 的最小值，对所有 x ∈ D f {\displaystyle x\in D_{f}} 就有 ( 0 < | x − a | < δ ) ⇒ ( | f ( x ) − L | < ϵ ) {\displaystyle (\,0<\left|x-a\right|<\delta \,)\Rightarrow (\,\left|f(x)-L\right|<\epsilon \,)} ；反过来由原函数 f {\displaystyle f} 推出 f | A {\displaystyle f|_{A}} 和 f | B {\displaystyle f|_{B}} 的状况是非常显然的。 左右极限[编辑] 若取 A = { x ∈ D f | x ≥ a } {\displaystyle A={\big \{}x\in D_{f}\,|\,x\geq a{\big \}}} B = { x ∈ D f | x ≤ a } {\displaystyle B={\big \{}x\in D_{f}\,|\,x\leq a{\big \}}} 如果假设 a {\displaystyle a} 同时为 A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} 的极限点，那 A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} 显然符合上面定理的要求的，而这时 lim x → a f | A ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a}f|_{A}(x)=L} 这个表达式会被别称为＂ L {\displaystyle L} 是实函数 f {\displaystyle f} 于 a {\displaystyle a} 的右极限＂，也可以用 lim x → a + f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=L} 表示。 类似的 lim x → a f | B ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a}f|_{B}(x)=L} 这个表达式会被别称为＂ L {\displaystyle L} 是实函数 f {\displaystyle f} 于 a {\displaystyle a} 的左极限＂，也可以用 lim x → a − f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)=L} 表示。 常用公式[编辑] 有理函数[编辑] 以下公式中， n > 0 , a > 1 {\displaystyle n>0,a>1} 。 lim x → ∞ 1 x n = 0 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x^{n}}}=0} lim x → ∞ 1 a x = 0 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {1}{a^{x}}}=0} lim x → 0 + 1 x = + ∞ {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{1 \over x}=+\infty } lim x → 0 − 1 x = − ∞ . {\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{1 \over x}=-\infty .} 无理函数[编辑] lim x → ∞ x x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{x}}=1} lim n → ∞ n n ! n = e {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e} 三角函数[编辑] lim x → 0 sin x x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1} lim x → ∞ sin x x = 0 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\sin x}{x}}=0} 指数函数[编辑] lim x → ∞ ( 1 + 1 x ) x = lim x → 0 ( 1 + x ) 1 x = e {\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=\lim _{x\to 0}(1+x)^{\frac {1}{x}}=e} lim x → 0 e x − 1 x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=1} lim x → 0 + x x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=1} 对数函数[编辑] lim x → 0 ln ( 1 + x ) x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1} lim x → 0 + ln x = − ∞ {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty } lim x → + ∞ ln x = + ∞ {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\ln x=+\infty } 参考[编辑]